Hỗn hợp[16] các đơn vị số học là ứng dụng của các phép tính số học đối với các đại lượng cơ số hỗn hợp như feet và inch; ga-lông và pint; bảng Anh, shilling và pence; v.v... Trước khi có hệ thống tiền và đơn vị đo lường dựa trên hệ thập phân, số học đơn vị ghép được sử dụng rộng rãi trong thương mại và công nghiệp.

Các phép toán số học cơ bản

Các kỹ thuật được sử dụng trong số học đơn vị ghép đã được phát triển qua nhiều thế kỷ và được ghi chép lại trong nhiều sách giáo khoa bằng nhiều ngôn ngữ khác nhau.[17][18][19][20] Ngoài các hàm số học cơ bản gặp trong số học thập phân, số học đơn vị phức hợp sử dụng thêm ba hàm:

• Giảm, trong đó một lượng hỗn hợp đơn vị được giảm thành một đại lượng 1 đơn vị - ví dụ, chuyển đổi khoảng cách được biểu thị bằng thước, feet và inch thành một được biểu thị bằng inch.[21]
• Mở rộng, hàm nghịch đảo của phép giảm, là sự chuyển đổi một đại lượng được biểu thị bằng một đơn vị đo đơn lẻ thành một đơn vị phức hợp, chẳng hạn như mở rộng 24   oz thành 1 lb 8 oz.
• Chuẩn hóa là việc chuyển đổi một tập hợp các đơn vị ghép thành dạng chuẩn — ví dụ: viết lại " 1 ft 13 in " thành " 2 ft 1 in ".

Kiến thức về mối quan hệ giữa các đơn vị đo lường khác nhau, bội số và bội số của chúng tạo thành một phần thiết yếu của số học đơn vị hỗn hợp.

Nguyên tắc của đơn vị số học phức hợp

Có hai cách tiếp cận cơ bản đối với số học đơn vị ghép:

• Phương pháp rút gọn -mở rộng trong đó tất cả các biến đơn vị ghép được rút gọn thành các biến đơn vị đơn lẻ, phép tính được thực hiện và kết quả được mở rộng trở lại đơn vị ghép. Cách tiếp cận này phù hợp cho các tính toán tự động. Một ví dụ điển hình là việc xử lý thời gian của Microsoft Excel trong đó tất cả các khoảng thời gian được xử lý nội bộ dưới dạng ngày và phần thập phân của một ngày.
• Phương pháp chuẩn hóa đang diễn ra trong đó mỗi đơn vị được xử lý riêng biệt và vấn đề được chuẩn hóa liên tục khi giải pháp phát triển. Cách tiếp cận này, được mô tả rộng rãi trong các văn bản cổ điển, phù hợp nhất cho các tính toán thủ công. Dưới đây là ví dụ về phương pháp chuẩn hóa liên tục được áp dụng cho phép cộng.

Thao tác cộng được thực hiện từ phải sang trái; trong trường hợp này, pence được xử lý đầu tiên, sau đó đến shilling, sau đó là pound. Các con số bên dưới "dòng trả lời" là kết quả trung gian.

Tổng số trong cột pence là 25. Vì có 12 xu trong một shilling, 25 được chia cho 12 để cho kết quả 2 với phần dư là 1. Giá trị   "1" sau đó được ghi vào hàng câu trả lời và giá trị   "2" chuyển tiếp đến cột shilling. Thao tác này được lặp lại bằng cách sử dụng các giá trị trong cột shilling, với bước bổ sung là thêm giá trị được chuyển tiếp từ cột xu. Tổng trung gian được chia cho 20 vì có 20 shilling tính theo bảng Anh. Cột pound sau đó được xử lý, nhưng vì pound là đơn vị lớn nhất đang được xem xét, không có giá trị nào được chuyển tiếp từ cột pound.

Tính toán trong thực tế

Trong suốt thế kỷ 19 và 20, nhiều công cụ trợ giúp khác nhau đã được phát triển để hỗ trợ việc thao tác các đơn vị hỗn hợp hợp, đặc biệt là trong các ứng dụng thương mại. Các công cụ hỗ trợ phổ biến nhất là máy cơ học được điều chỉnh ở các quốc gia như Vương quốc Anh để phù hợp với bảng Anh, shilling, penny và farthing và "Ready Reckoners" — cuốn sách hướng đến các nhà giao dịch liệt kê các kết quả của các phép tính thông thường khác nhau như tỷ lệ phần trăm hoặc bội số các khoản tiền khác nhau. Một tập sách điển hình [22] đã chạy đến 150 trang lập bảng bội số "từ một đến mười nghìn với nhiều mức giá khác nhau từ một farthing đến một bảng Anh".

Tính chất cồng kềnh của số học đơn vị hỗn hợp đã được công nhận trong nhiều năm — vào năm 1586, nhà toán học người Flemish, Simon Stevin, xuất bản một cuốn sách nhỏ có tên De Thiende ("số mười") [23] trong đó ông tuyên bố sự ra đời phổ biến của tiền đúc thập phân, các phép đo, và trọng số chỉ là một câu hỏi về thời gian. Trong kỷ nguyên hiện đại, nhiều chương trình chuyển đổi, chẳng hạn như chương trình bao gồm trong hệ điều hành máy tính Microsoft Windows 7, hiển thị các đơn vị kết hợp ở định dạng thập phân rút gọn thay vì sử dụng định dạng mở rộng (ví dụ: "2,5 ft "được hiển thị thay vì "2 ft 6 in").